Résumé:
La théorie des groupes finis est une théorie formidable, qui n'a pas fini de révéler tous ses
trésors. Elle fascine le spécialiste comme le débutant et éclaire de ses lumières des territoires
aussi variés que l'arithmétique, la géométrie, la cryptographie ou l'imagerie médicale. Qui
d'entre nous n'a pas entendu parler du Monstre de Fischer-Griess ou du groupe du cube de
Rubik ? Qui n'a pas espéré un jour découvrir le chemin initiatique par excellence pour
apprendre les mathématiques correspondant à ces objets, ou plus simplement les choses
les plus essentielles en matière de groupes finis ? L'enseignement en faculté, bien que
largement supérieur en la matière à celui des classes préparatoires, ne fait au fond qu'effleurer le sujet. À peine survole-t-on en ces lieux les p-Sylow, les suites de Jordan-Hölder, et une
fois sur deux l'on omet de travailler les produits semi-directs.
Certes, Alain Debreil ne parle dans son livre ni du Monstre, ni du cube de Rubik, mais il
ne fait l'impasse sur aucun des thèmes fondateurs de la théorie des groupes, et mieux, il en
dévoile les arcanes grâce aux treillis des sous-groupes... Des groupes abéliens aux groupes
linéaires, en passant par tous les groupes de cardinal < 33, il nous fait faire le tour des
choses, nous informant sur le centre, le groupe dérivé, le Frattini, le groupe des automorphismes, etc. Grâce à un travail gargantuesque qui en appelle à l'informatique, à la
patience et à un grand souci pédagogique, l'auteur renouvelle l'enseignement du sujet,
nous livre une myriade de secrets que les anciens gardaient jalousement dans leurs
grimoires, et que les logiciels modernes, malgré leur puissance, n'aident pas à discerner
pour autant. Nous disposons ainsi d'un atlas fantastique de treillis enrichis d'informations
de première main, de graphes de Cayley dessinés d'une touche de maître, mais aussi d'un
nombre considérable d'exercices originaux et d'autres plus classiques, toujours choisis
pour leur intérêt et corrigés avec détail et grand soin.